Calculadora de Derivadas
Ingresa la función matemática y obtén su derivada paso a paso con explicaciones detalladas
Guía Completa: Cómo Hacer Derivadas Paso a Paso
Las derivadas son uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial con aplicaciones en física, ingeniería, economía y ciencias de la computación. Esta guía te enseñará desde los principios básicos hasta técnicas avanzadas para calcular derivadas de cualquier función.
1. Conceptos Básicos de Derivadas
Una derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función con respecto a una variable. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.
Definición formal:
La derivada de una función f(x) en un punto x=a se define como:
f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) – f(a)]/h
2. Reglas Básicas de Derivación
2.1 Regla de la Constante
La derivada de una constante es cero:
d/dx [c] = 0
2.2 Regla de la Potencia
Para cualquier número real n:
d/dx [x^n] = n·x^(n-1)
2.3 Regla del Múltiplo Constante
Si c es una constante:
d/dx [c·f(x)] = c·f'(x)
2.4 Regla de la Suma
La derivada de una suma es la suma de las derivadas:
d/dx [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
3. Reglas para Funciones Compuestas
3.1 Regla del Producto
Para el producto de dos funciones:
d/dx [f(x)·g(x)] = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
3.2 Regla del Cociente
Para el cociente de dos funciones:
d/dx [f(x)/g(x)] = [f'(x)·g(x) – f(x)·g'(x)] / [g(x)]^2
3.3 Regla de la Cadena
Para funciones compuestas:
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
4. Derivadas de Funciones Trigonométricas
| Función | Derivada |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | sec²(x) |
| cot(x) | -csc²(x) |
| sec(x) | sec(x)·tan(x) |
| csc(x) | -csc(x)·cot(x) |
5. Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
| Función | Derivada |
|---|---|
| e^x | e^x |
| a^x | a^x·ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| logₐ(x) | 1/(x·ln(a)) |
6. Derivadas de Orden Superior
Las derivadas de orden superior se obtienen derivando sucesivamente:
- Primera derivada (f'(x)): Tasa de cambio instantánea
- Segunda derivada (f”(x)): Concavidad de la función
- Tercera derivada (f”'(x)): Tasa de cambio de la concavidad
Por ejemplo, para f(x) = x³:
- f'(x) = 3x²
- f”(x) = 6x
- f”'(x) = 6
- f⁴(x) = 0
7. Aplicaciones Prácticas de las Derivadas
- Optimización: Encontrar máximos y mínimos de funciones (beneficios, costos, etc.)
- Tasas relacionadas: Problemas donde las variables cambian con el tiempo
- Movimiento rectilíneo: Velocidad y aceleración como derivadas de la posición
- Economía: Marginalidad (costo marginal, ingreso marginal)
- Biología: Tasas de crecimiento poblacional
8. Errores Comunes al Derivar
- Olvidar aplicar la regla de la cadena en funciones compuestas
- Confundir la derivada del producto con el producto de las derivadas
- Errores de signo en derivadas de funciones trigonométricas
- No simplificar adecuadamente las expresiones resultantes
- Olvidar que la derivada de una constante es cero
9. Técnicas Avanzadas de Derivación
9.1 Derivación Implícita
Útil cuando y no está expresada explícitamente como función de x. Ejemplo:
x² + y² = 25 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = -x/y
9.2 Derivación Logarítmica
Técnica para derivar funciones de la forma f(x)^g(x):
- Tomar logaritmo natural de ambos lados
- Derivar implícitamente
- Resolver para dy/dx
9.3 Derivadas Parciales
Para funciones de varias variables (∂f/∂x, ∂f/∂y), se deriva con respecto a una variable tratando las otras como constantes.
10. Ejercicios Prácticos Resueltos
Ejercicio 1: Derivar f(x) = (3x² + 2x – 1)(5x + 4)
Solución: Aplicamos la regla del producto:
f'(x) = (6x + 2)(5x + 4) + (3x² + 2x – 1)(5)
= 30x² + 24x + 10x + 8 + 15x² + 10x – 5
= 45x² + 44x + 3
Ejercicio 2: Derivar f(x) = sin(x²)·e^(3x)
Solución: Aplicamos regla del producto y regla de la cadena:
f'(x) = cos(x²)·2x·e^(3x) + sin(x²)·e^(3x)·3
= e^(3x) [2x·cos(x²) + 3·sin(x²)]
Ejercicio 3: Derivar implícitamente x·y + y² = 5x
Solución: Derivamos ambos lados con respecto a x:
y + x·dy/dx + 2y·dy/dx = 5
dy/dx (x + 2y) = 5 – y
dy/dx = (5 – y)/(x + 2y)